Профессор кафедры Математического анализа и методики преподавания математики ИЕТН ЮУрГУ Валерий Карачик предложил метод нахождения решений задачи Навье для тригармонических уравнений в единичном шаре с помощью функции Грина этой задачи.
Математическая физика требует решения уравнений в частных производных, в том числе полигармонических: \delta^n u = f(x), где \delta – оператор Лапласа. При нулевой правой части и n=2 такие решения называют бигармоническими функциями, а при n=3 – тригармоническими и т.д.
Уравнения такого типа постоянно возникают, например, при решении задач теории упругости и гидродинамики, квантовой физики, а также в метеорологии для прогнозирования движения воздушных масс.
Для эллиптических уравнений в частных производных, которым является полигармоническое уравнение, ставится граничная задача – она помогает из семейства решений этого уравнения выбрать одно частное решение, соответствующее граничным условиям, действующим в конкретной области. Для полигармонического уравнения исследуются различные граничные задачи. Классическими граничными задачами являются задача Дирихле, задача Неймана, задача Навье, задача Робина и др. Задача Навье заключается в том, чтобы находить такие решения полигармонических уравнений в шаре или в полосе, в граничных условиях которых также присутствует оператор Лапласа. Она носит имя физика позапрошлого века Анри Навье, автора первого в истории курса «сопромата», более известного сегодня благодаря уравнениям Навье-Стокса – их универсальное решение является одной из проблем Миллениума, однако множество математиков находят решения этих уравнений для различных частных случаев.
Студенты старших курсов знают, что для решения дифференциальных производных можно применять функцию Грина, точнее специальный интегральный оператор связанный с областью задачи.
Сложность заключается в том, что функцию Грина нужно ещё построить. В этом и заключается основной результат статьи профессора ИЕТН Валерия Карачика, нашедшего способ построения функции Грина G_n^6 (x, \zeta) задачи Навье для тригармонического уравнения \delta^3 u = f(x) (эллиптического уравнения в частных производных 6-го порядка) в единичном шаре. Статья опубликована в журнале Mathematics.
Профессор Карачик в финале статьи делится двумя возможными сценариями дальнейшего исследования: решения краевых задач другого вида для тригармонического уравнения и обобщение полученного результата для задачи Навье на случай полигармонических уравнений.