КАФЕДРА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
 |
|
Почтовый адрес: Россия, 454080, г. Челябинск, пр. им. Ленина, 76, к. 706
Телефон: (351) 267-90-48
Профессор Менихес Л.Д. – один из крупнейших специалистов в теории регуляризации в топологических пространствах – первым построил пример нерегуляризуемого интегрального оператора и успешно решил долго не поддававшуюся решению проблему А.Н.Тихонова.
Профессор Менихес Л.Д. возглавляет региональное отделение Научно-методического Совета по математике Минобразования РФ.
НАУЧНАЯ РАБОТА
Некорректные задачи широко распространены в различных научных исследованиях, связанных с обработкой экспериментальных данных, управлением и планированием, решением обратных задач и т.п. Основным объектом исследования здесь является операторное уравнение I-го рода трудности с решением которого возникают из-за незамкнутости области значений оператора и отсутствия непрерывной зависимости решения от правой части. Поскольку исходные данные для таких задач, как правило, получают в результате прямых или косвенных измерений, постольку в их задании неизбежно присутствуют погрешности, что чревато большими ошибками.
В 1963 году академик А.Н. Тихонов предложил метод регуляризации для решения некорректных задач. После этого исследования в области некорректных задач стали проводиться по двум направлениям.
Первое из них – это общетеоретические исследования существования регуляризующих алгоритмов для решения некорректных задач. Второе - исследование конкретных регуляризаторов и нахождение оценок погрешностей при решении некорректных задач. Оба эти направления являются традиционными для уральской математической школы и восходят к член-корреспонденту АН СССР В.К.Иванову и его ученикам.
Признанными лидерами математиков ЮУрГУ, работающих в этих направлениях, являются профессора Л.Д.Менихес и В.П.Танана - ученики В.К.Иванова.
Профессору Менихесу Л.Д., работающему в первом из упомянутых направлений, принадлежит решение долго не поддававшейся усилиям многих математиков задачи о регуляризации интегральных уравнений. Построен пример нерегуляризуемого интегрального оператора с бесконечно дифференцируемым симметричным ядром. Л.Д. Менихес является пионером в исследовании проблем регуляризуемости в топологических пространствах. Он нашел необходимые и достаточные условия регуляризуемости в терминах теории двойственности локально выпуклых пространств. Профессор Е.Н. Доманский исследовал вопрос, когда сходимость регуляризационного процесса эквивалентна решению некорректной задачи.
Работы профессора Тананы В.П., доцента Е.В. Табаринцевой, старших преподавателей Н.А. Евдокимовой и Н.М. Япаровой относятся ко второму направлению. Они исследуют оптимальность метода невязки при разных предположениях, метод установления и другие. В последнее время начались исследования по многомерным интегральным уравнениям. В области конечномерной аппроксимации были найдены критерии сходимости аппроксимаций с использованием теории двойственности банаховых пространств, которые были применены для решения задачи о равномерной сходимости конечноразностных аппроксимаций при решении интегральных уравнений, поставленной А.Н. Тихоновым 40 лет назад.
По результатам этих исследований была защищена одна докторская и одна кандидатская (руководитель – проф. Менихес Л.Д.) диссертации. Исследования по регуляризации некорректных задач неоднократно были поддержаны грантами РФФИ.
